Przejdź do sekcji głównej Przejdź do głównego menu Przejdź do stopki
  • Zaloguj
  • Język
    • English
    • Język Polski
  • Menu
  • Strona domowa
  • Aktualny numer
  • Online First
  • Archiwum
  • O czasopiśmie
    • O czasopiśmie
    • Przesyłanie tekstów
    • Zespół redakcyjny
    • Polityka prywatności
    • Kontakt
  • Zaloguj
  • Język:
  • English
  • Język Polski

Topological Methods in Nonlinear Analysis

A deformation lemma with an application to a mean field equation
  • Strona domowa
  • /
  • A deformation lemma with an application to a mean field equation
  1. Strona domowa /
  2. Archiwum /
  3. Vol 30, No 1 (September 2007) /
  4. Articles

A deformation lemma with an application to a mean field equation

Autor

  • Marcello Lucia

Słowa kluczowe

Deformation lemma, Palais-Smale condition, nonlinear PDE, mean field equation

Abstrakt

Given a Hilbert space $( {\mathcal H}, \langle \cdot,\cdot\rangle)$, $\Lambda$ an interval of $\mathbb R$ and $K \in C^{1,1} ({\mathcal H}, {\mathbb R})$ whose gradient is a compact mapping, we consider a family of functionals of the type: $$ I(\lambda, u) = \frac{1}{2} \langle u , u\rangle - \lambda K(u), \quad (\lambda,u) \in \Lambda \times {\mathcal H}. $$ Though the Palais-Smale condition may fail under just these assumptions, we present a deformation lemma to detect critical points. As a corollary, if $I(\overline \lambda,\cdot)$ has a ``mountain pass geometry'' for some $\overline \lambda \in \Lambda$, we deduce the existence of a sequence $\lambda_n \to \overline \lambda$ for which each $I(\lambda_n,\cdot)$ has a critical point. To illustrate such results, we consider the problem: $$ - \Delta u = \lambda \bigg( \frac{e^u}{\int_{\Omega} e^u } - \frac{T}{|\Omega|} \bigg), \quad u \in H_0^1 (\Omega), $$ where $\Omega \subset \subset {\mathbb R}^2$ and $T$ belongs to the dual $H^{-1}$ of $H^1_0 (\Omega)$. It is known that the associated energy functional does not satisfy the Palais-Smale condition. Nevertheless, we can prove existence of multiple solutions under some smallness condition on $\| T-1 \|_{H^{-1}}$, where $1$ denotes the constant function identically equal to $1$ in the domain.

Pobrania

  • FULL TEXT (English)

Opublikowane

2007-09-01

Jak cytować

1.
LUCIA, Marcello. A deformation lemma with an application to a mean field equation. Topological Methods in Nonlinear Analysis [online]. 1 wrzesień 2007, T. 30, nr 1, s. 113–138. [udostępniono 2.7.2025].
  • PN-ISO 690 (Polski)
  • ACM
  • ACS
  • APA
  • ABNT
  • Chicago
  • Harvard
  • IEEE
  • MLA
  • Turabian
  • Vancouver
Pobierz cytowania
  • Endnote/Zotero/Mendeley (RIS)
  • BibTeX

Numer

Vol 30, No 1 (September 2007)

Dział

Articles

Statystyki

Liczba wyświetleń i pobrań: 0
Liczba cytowań: 0

Wyszukiwanie

Wyszukiwanie

Przeglądaj

  • Indeks autorów
  • Lista archiwalnych numerów

Użytkownik

Użytkownik

Aktualny numer

  • Logo Atom
  • Logo RSS2
  • Logo RSS1

Newsletter

Zapisz się Wypisz się
W górę

Akademicka Platforma Czasopism

Najlepsze czasopisma naukowe i akademickie w jednym miejscu

apcz.umk.pl

Partnerzy platformy czasopism

  • Akademia Ignatianum w Krakowie
  • Akademickie Towarzystwo Andragogiczne
  • Fundacja Copernicus na rzecz Rozwoju Badań Naukowych
  • Instytut Historii im. Tadeusza Manteuffla Polskiej Akademii Nauk
  • Instytut Kultur Śródziemnomorskich i Orientalnych PAN
  • Instytut Tomistyczny
  • Karmelitański Instytut Duchowości w Krakowie
  • Ministerstwo Kultury i Dziedzictwa Narodowego
  • Państwowa Akademia Nauk Stosowanych w Krośnie
  • Państwowa Akademia Nauk Stosowanych we Włocławku
  • Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Stanisława Pigonia w Krośnie
  • Polska Fundacja Przemysłu Kosmicznego
  • Polskie Towarzystwo Ekonomiczne
  • Polskie Towarzystwo Ludoznawcze
  • Towarzystwo Miłośników Torunia
  • Towarzystwo Naukowe w Toruniu
  • Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu
  • Uniwersytet Komisji Edukacji Narodowej w Krakowie
  • Uniwersytet Mikołaja Kopernika
  • Uniwersytet w Białymstoku
  • Uniwersytet Warszawski
  • Wojewódzka Biblioteka Publiczna - Książnica Kopernikańska
  • Wyższe Seminarium Duchowne w Pelplinie / Wydawnictwo Diecezjalne „Bernardinum" w Pelplinie

© 2021- Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Deklaracja dostępności Sklep wydawnictwa